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20-Aug-2016 00:31

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Er war einer der einflussreichsten Schriftsteller und Denker deutscher Sprache im Zeitalter der Aufklärung und zählt mit Christoph Martin Wieland, Johann Wolfgang Goethe und Friedrich Schiller zum klassischen Viergestirn von Weimar. Dezember 1803 in Weimar), war ein deutscher Dichter, Übersetzer, Theologe sowie Geschichts- und Kultur-Philosoph der Weimarer Klassik.Das Eigenwertproblem Wir multiplizieren eine Matrix \(A\) mit einem Vektor \(\vec\) und erhalten als Ergebnis das \(\lambda\)-fache vom Vektor \(\vec\).\(A \cdot \vec = \lambda \cdot \vec\) Dabei ist \(\vec\) der Eigenvektor und \(\lambda\) der Eigenwert der Matrix \(A\). Wir haben vorausgesetzt, dass der Vektor \(\vec\) nicht Null sein darf.Herder, der 1762–1764 bei Kant Vorlesungen über Astronomie, Logik, Metaphysik, Moralphilosophie, Mathematik und Physische Geographie gehört hatte, schrieb später darüber: „Mit dankbarer Freude erinnere ich mich aus meinen Jugendjahren der Bekanntschaft und des Unterrichts eines Philosophen, der mir ein wahrer Lehrer der Humanität war (…) Seine Philosophie weckte das eigne Denken auf, und ich kann mir beinahe nichts Erleseneres und Wirksameres hierzu vorstellen, als sein Vortrag war.“ an Kant, die rügten, dieser habe die Sprache als originäre Erkenntnisquelle vernachlässigt.Herder wies zudem darauf hin, dass der Mensch bereits während der Wahrnehmung „metaschematisiert“, womit er bereits Einsichten der Gestaltpsychologie vorwegnahm.Auch die Schriften Jean-Jacques Rousseaus beeindruckten Herder sehr.Er schloss sich einem gelehrten Kreis an, zu dem Theodor Gottlieb Hippel, Hamann, Johann George Scheffner und Kant zählten.

Im nächsten Kapitel schauen wir uns an, wie man die Eigenvektoren der Matrix berechnet.\(A \cdot \vec = \lambda \cdot \vec\) \(A \cdot \vec - \lambda \cdot \vec = 0 \qquad |\cdot E\) \(E \cdot A \cdot \vec - E \cdot \lambda \cdot \vec = 0\) \((E \cdot A - E \cdot \lambda) \cdot \vec = 0 \qquad | E \cdot A = A\) \((A - E \cdot \lambda) \cdot \vec = 0\) \(\det(A - E \cdot \lambda) = 0\) Diese Determinante entspricht der Determinante, die wir bereits oben zur Berechnung des charakteristischen Polynoms verwendet haben.Auf dieser Seite werden zu eingegebenen Matrizen das charakteristische Polynom, die Eigenwerte als dessen Nullstellen und die Eigenvektoren berechnet.Von folgender Matrix sollen die Eigenwerte berechnet werden \(A = \begin3 & -1 & 0 \ 2 & 0 & 0 \ -2 & 2 & -1 \end\) 1.) Berechnen des charakteristischen Polynoms \(\begin\chi_A(\lambda) &=\begin (3-\lambda) & -1 & 0 \ 2 & (0-\lambda) & 0 \ -2 & 2 & (-1-\lambda) \end\&=(3-\lambda) \cdot (0-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot 2 \cdot (-1)\&= -\lambda^3 2\lambda^2 \lambda - 2\end\) 2.) Berechnen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms (vgl.

Kapitel "Kubische Gleichungen lösen") \(\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_3 = -1;\) Dabei handelt es sich um die Eigenwerte der Matrix \(A\).Ausgeschrieben sieht die Sache folgendermaßen aus \(\begina_ & a_ \ a_ & a_ \end \cdot \beginx \ y \end = \lambda \cdot \beginx \ y \end\) Wir multiplizieren die Gleichung aus und erhalten folgendes Gleichungssystem \(\begina_ \cdot x a_ \cdot y = \lambda \cdot x\a_ \cdot x a_ \cdot y = \lambda \cdot y\end\) Jetzt bringen wir alle Glieder auf die linke Seite \(\begin(a_ - \lambda) \cdot x a_ \cdot y = 0\a_ \cdot x (a_ - \lambda) \cdot y = 0\end\) Wir sehen sofort, dass das Gleichungssystem für \(x = 0\) und \(y = 0\) erfüllt ist. Uns interessiert also ausschließlich die nichttriviale Lösung. Eine nichttriviale Lösung existiert genau dann, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet (d.h. \(\begin\chi_A(\lambda) &= \begin(a_ - \lambda) & a_ \a_ & (a_ - \lambda)\end\&= (a_ - \lambda) \cdot (a_ - \lambda) - a_ \cdot a_\&=\lambda^2 - (a_ a_) \cdot \lambda a_ \cdot a_ - a_ \cdot a_\end\) Diese Gleichung heißt "charakteristisches Polynom" und ist in diesem Fall eine quadratische Gleichung (\(\lambda\) ist die Unbekannte). Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.



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